Удивительной спиралью Бернулли я заинтересовался еще будучи студентом технологического факультета Каирского университета (хотя этот интерес так и не достиг того мистического накала, каким характеризовалось отношение к своему открытию самого Бернулли), в особенности же меня интриговало се родство с фазовыми картинами систем затухающих колебаний, изучаемых в технических школах и колледжах. Почему, спрашивал я себя, уравнения, описывающие колебания простого маятника, в точности совпадают с уравнениями индуктивпо-емкостно-рсзистивного контура, если не считать того, что математические символы в каждом из случаев имеют различный физический смысл?

Разумеется, в рассматриваемых физических системах неизбежно происходят потери энергии, в результате чего эти системы приходят в конце концов в состояние покоя. Почему же спиральная фазовая картина одинаково хорошо описывает характер зависимости друг от друга обеих пар величин (т. с. координаты точки и ее скорости в одном случае и напряжения и силы тока — в другом)?

Подобно многим другим практикам от математики, я одно время забавлялся с числами Фибоначчи, отмечая их поразительное сродство с непрерывными дробями и спиралями. Кстати говоря, в основе некоторых разработавшых мною типов электрических фильтров лежат именно непрерывные дроби. В свободное время я собирал из струн и блоков маленькие механизмы, способные вычислить квадратный корень из двух и преобразовать число из двоичной записи в десятичную и обратно. После определенного ознакомления с непрерывными дробями, связанного с необходимостью вычисления иррациональных величин, выяснилось, что идеальными метафорами для этих в высшей степени необыкновенных дробей являются прямые предшественники логарифмической спирали так насыпаемые витые фигуры.

Я не нашел в себе сил сопротивляться очарованию золотого сечения и его много численного семейства, а когда узнал из статьи Иэиа Стюарта в «Сайентифик Америкен» о числах Падована, так и вовсе пришел в полный восторг. Рассматривая равносторонние треугольники, я неожиданно обнаружил странный маленький пятиугольник, обладающий некоторыми интересными свойствами золотого прямоугольника, и назвал его, по аналогии, серебряным пятиугольником.

Познакомившись с «Фрактальной геометрией природы» Бенуа Ман-дельброта2 и «Красотой фракталов» Хайнца Пайтгена и Петера Рихтера3, я вспомнил о своей докторской диссертации 1959 года, в которой я широко пользовался кронекеровым произведением, и нашел, что это самое произведение способно весьма изящно генерировать простые фракталы т.е. в большинстве случаев самоподобные фигуры и узоры.
Я никуда не мог скрыться от логарифмических спиралей — они заполонили все вокруг! Казалось, что логарифмическая спираль олицетворяет собой самую сущность самоподобия, для обозначения которого я даже изобрел собственный термин гнолюшюсть. Именно самоподобие является центральным понятием этой книги.

Определение гномона было дано еще Героном Александрийским. По Герону, гномон — это фигура (под термином фигура здесь понимается геометрическая фигура или просто число), которая, будучи добавлена к какой-либо другой фигуре, образует новую фигуру, подобную исходной.
Вводная глава посвящена самому термину гномон^ истории его возникновения и употребления. Начнем мы с исторического обзора — поговорим о гномонах в Древней Греции, развеем некоторые широко распространенные заблуждения, согласно которым египетские обелиски являются гномонами, и проследим этимологию слова гномон в его самом первом значении («нечто, что позволяет узнать») до древнеегипетских слов сетшат и меркхет.

На основании последовательности Падована я построил оригинальную фигуру («серебряный пятиугольник»), родственную по своим математическим свойствам золотому прямоугольнику. В конце главы VII мы познакомимся с необычной фигурой, называемой улиткой и впервые описанной С. Голомбом под названием «реп-тайл», эту фигуру Кронскср, скорее всего, не стал бы рассматривать, сочтя ее нефинитной.
Ни одна геометрическая фигура не воплощает концепцию самоподобия лучше, чем чудесная логарифмическая спираль Бернулли. В главе VIII вниманию читателя предлагается поэтапный анализ постепенно усложняющихся матриц поворота, описывающих поведение логарифмической спирали. В конце главы приводится общее решение для затухающих колебаний с характерной спиральной фазовой картиной. Полученные результаты вполне применимы к описанию поведения простого маятника и электрического резистивно-индуктивно-смкостного контура; при этом необходимость в анализе отсутствует, достаточно одних лишь методов конечных разностей.

Книга о самоподобии не может считаться законченной, если в ней не упоминается о фракталах. После того как вышел в свет основополагающий труд Мандельброта, о фракталах и их приложениях едва ли не ко всякой области человеческой деятельности, от так называемых точных наук до менее строгих гуманитарных, исписаны уже целые тома. В мои намерения отнюдь не входит создание очередного учебного курса о фракталах. Напротив, представленный в последней главе подход несколько отличается от общепринятого, так как в его основе лежат теоретико-числовые соображения. Кроме того, там можно найти несколько оригинальных фрактальных фигур моего собственного «изготовления».