Классическая книга основателя теории фракталов, известного американского математика Б. Мандельброта, которая выдержала за рубежом несколько изданий и была переведена на многие языки. Перевод на русский: язык выходит с большим опозданием (первое английское издание вышло в 1977 г.). За прошедший период книга совсем не устарела и остается лучшим и основным введением в теорию фракталов и фрактальную геометрию . Написанная в живой и яркой манере, она содержит множество иллюстраций (в том числе и цветных). а также примеров из различных областей науки. Для студентов и аспирантов, физиков и математиков. инженеров и специалистов.

Данная работа представляет собой расширенное переиздание моего эссе 1977 г. «Фракталы: форма, случайность и размерность», которое, в свою очередь, явилось расширенным переизданием написанного на французском языке эссе 1975 г. «Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность». В переиздания добавлялись новые иллюстрации, текст серьезно пересматривался, в результате чего почти каждый раздел подвергался изменениям, а некоторые места я удалял совсем; кроме того, в книгу вносились дополнения, посвященные моей прежней работе,
и что более важно обширные дополнения, посвященные новым исследованиям.

Существенный вклад и в эссе 1977 г., и в эту книгу внес Рихард Ф. Фосс, в особенности благодарен я ему за создание фрактальных хлопьев, большей части ландшафтов и планет. Программы, с помощью которых были выполнены многие поразительные иллюстрации специально для нового издания настоящего эссе, были предоставлены В.Аланом Нортоном. За неоценимое, тесное и длительное сотрудничество я хочу поблагодарить Зигмунда В. Хандельмана и Марка Р. Лаффа, которые выполнили
вычисления и подготовили графический материал, а также X. Катарин Дитрих и Дженис Т. Ризничок, редактировавших и набиравших текст. Благодарности отдельным лицам за программы, с помощью которых выполнены иллюстрации, и за прочее разнообразное содействие можно найти в конце книги после библиографического списка.

Я чувствую себя в неоплатном долгу перед Исследовательским Центром имени Томаса Дж.Уотсона корпорации ЮМ за поддержку моих исследований и книг. Ральф Э. Гомори — сначала руководитель группы, затем управляющий отделом, а ныне вице-президент ТВМ по исследовательской работе — находил способы поддержать мою работу еще тогда, когда она была не более чем игрой, и сейчас продолжает оказывать мне любую помощь, какая бы пи потребовалась. Моя первая научная публикация увидела свет 30 апреля 1951 г. На протяжении прошедших лет многим казалось, что я слишком непостоянен в выборе тем для своих исследований. Одинако этот кажущийся беспорядок скрыл под собой глубокое единство цели, которое как раз и призвано открыть настоящее эссе — наряду с двумя предшествующими работами. Как бы то ни было, большая часть моих трудов — это муки рождения новой научной дисциплины.

Почему геометрию так часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин — ее неспособность описать форму облака, горы, дерева или береговой линии. Облака не являются сферами, горы — конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью окружностей, кору деревьев не назовешь гладкой, а путь молнии прямолинейным. В более общем виде я заявляю, что многие формы Природы на- столько неправильны и фрагментированы, что в сравнении с евклидовыми фигурами (евклидовым в данной работе мы будем называть все, что относится к обычной геометрии) Природа демонстрирует не просто более высокую степень, но совершенно иной уровень сложности. Количество различных масштабов длины в естественных формах можно
считать бесконечным для каких угодно практических задач.

Существование таких феноменов бросает нам вызов и побуждает заняться подробным изучением тех из форм, которые Евклид отложил в сторону из-за их «бесформенности» — исследовать, так сказать, морфологию «аморфного». Математики же пренебрегли этим вызовом и предпочли бежать от природы путем изобретения всевозможных теорий, которые никак не объясняют тою, что мы видим или ощущаем. Рискнув ответить на вызов, я задумал и разработал новую геометрию Природы, а также нашел для нее применение во многих разнообразных областях.

Новая геометрия способна описать многие из неправильных и фрагментированных форм в окружающем нас мире и породить вполне законченные теории, определив семейство фигур, которые я называю фракталами. Наиболее полезные фракталы включают в себя элемент случайности; как правильность, так и неправильность их подчиняется статистическим законам. Кроме того, описываемые здесь фигуры стремятся к масштабной инвариантности, т.е. степень их неправильности и/или/ фрагментации неизменна во всех масштабах. Центральное место в настоящей работе занимает фрактальная (или хаусдорфова) размерность.

Одни фрактальные множества представляют собой кривые или поверхности, другие несвязную «пыль»; есть и такие, чья форма столь причудлива, что ни наука, ни искусство не в состоянии предложить подходящее для них название. Я предлагаю читателю ознакомиться с ними прямо сейчас, просмотрев иллюстрации в книге.
На многих из этих иллюстраций представлены формы, которые до сих пор никто не рассматривал, на другах же показаны давно известные конструкции, причем нередко впервые именно в таком виде. В самом деле, хотя фрактальная геометрия как таковая появилась лишь в 1975 г., многие из ее концепций и инструментов были разработаны раньше — пусть и для целей, в корне отличных от моей. Старые камни в кладке степ нового здания обеспечили фрактальной геометрии чрезвычайно мощный строго математический фундамент, в результате чего математика обогатилась новыми захватывающими идеями и проблемами.

И все же, в рамках данной работы меня не интересуют пи абстракция, ни обобщение ради самих себя; эта книга не является ни учебником, ни математическим трактатом. Несмотря на ее размер, я склонен определить ее жанр как научное эссе, так как изложенный в ней материал представляет только мою собственную точку зрения и ни в коем случае не претендует па всеохватывающую полноту. Кроме того, как и во многих других эссе, в ней немало отступлений и интерлюдий. Такой неформальный подход призван помочь читателю избежать тех частей текста, которые лежат вне области его интересов или за пределами его компетенции. По всей книге разбросано множество «легких» в математическом смысле мест, особенно ближе к концу. Листайте книгу. где-то останавливаясь, что-то пропуская — по крайней мере, при первом и втором прочтении.